CVA p. 5+, Kieffer p. 228

Présenté par Nicolas en 2022

Leçons : 110 - 111 - 116 - 123 - 311 - 313 – [320 - 327 polaire]

Mots-clefs : trace, dualité, rang, th. base incomplète, décomposition polaire, matrice inversible.

Présentation : On va montrer que tout hyperplan de ℳ𝑛(𝕂) contient au moins une matrice inversible ou orthogonale.

Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

Ketrane p. 217+, XALG3 2.27

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 115 - 117 - 118 - 120 - 121 - 123 - 308 - 309 - 312 - 316 - 318 - 320 - 321 - 327 - 432

Mots-clefs : Théorème spectral, factorisation de matrices, densité, compacité, diagonalisabilité, polynômes de Lagrange

Présentation : Montrer que si 𝐴∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), alors ∃!(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛++, 𝐴=𝑂𝑆 puis montrer que si 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), alors ∃(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛+, 𝐴=𝑂𝑆.

Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.

Illustration : Python

CVA (2019) p. 93+

Présenté par Julien en 2023

Leçons : 111 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 308 - 316 - 317 - 318 - 320 - 322

Mots-clefs : valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation, polynômes, nilpotence, orthogonalité, formes quadratiques.

Présentation : Soit 𝐸 un ℝ−𝑒𝑣 de dimension finie 𝑛∈ℕ∗ et 𝐴∈ℳ𝑛(ℝ) une matrice dont le polynôme caractéristique 𝜒𝐴 est scindé.
On peut aussi considérer un ℂ−𝑒𝑣 auquel cas, le polynôme caractéristique est directement scindé par d’Alembert-Gauss.
Le critère de Klarès est une condition nécessaire et suffisante sur une égalité de noyaux pour que 𝐴 soit diagonalisable.

Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucun

Analystan p. 159+, CVA p. 145+

Présenté par Julien en 2023

Leçons : 115 - 117 - 120 - 121 - 221 - 226 - 301 - 309 - 316 - 318 - 320 - 322 - 327 - 432

Mots-clefs : décomposition polaire, orthogonalité, compacité, valeurs propres, diagonalisation, norme matricielle, factorisation de matrices, linéarité et  bilinéarité

Présentation : Tout en travaillant sur de la topologie et sur la décomposition polaire, il s'agit ici de démontrer une inégalité de distance d'une matrice à un fermé. On s'intéressera également au cas d'égalité.

Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.

Illustration : Python

X-ENS Alg 2 p. 247

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 311 - 312 - 316 - 317 - 318 - 320

Mots-clefs : diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, matrice nilpotentes, valeurs propres

Présentation : Soit 𝑛 ∈ ℕ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℂ).

On va montrer que exp(𝐴) = 𝐼𝑛, si et seulement si, 𝐴 est diagonalisable et 𝑆𝑝(𝐴) ⊂ 2𝑖𝜋ℤ.

Bilan : assez dense en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune