CVA p. 5+, Kieffer p. 228

Présenté par Nicolas en 2022

Leçons : 110 - 111 - 116 - 123 - 311 - 313 – [320 - 327 polaire]

Mots-clefs : trace, dualité, rang, th. base incomplète, décomposition polaire, matrice inversible.

Présentation : On va montrer que tout hyperplan de ℳ𝑛(𝕂) contient au moins une matrice inversible ou orthogonale.

Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

Ketrane p. 217+, XALG3 2.27

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 115 - 117 - 118 - 120 - 121 - 123 - 308 - 309 - 312 - 316 - 318 - 320 - 321 - 327 - 432

Mots-clefs : Théorème spectral, factorisation de matrices, densité, compacité, diagonalisabilité, polynômes de Lagrange

Présentation : Montrer que si 𝐴∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), alors ∃!(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛++, 𝐴=𝑂𝑆 puis montrer que si 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), alors ∃(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛+, 𝐴=𝑂𝑆.

Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.

Illustration : Python

CVA p. 30+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319

Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation

Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.

Obert p. 78 - Pulkowski p. 171+

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 112 - 114 - 115 - 123 - 301 - 315 - 319

Mots-clefs : produit matriciel, pivot de Gauss, déterminant, opérations élémentaires sur les matrices, algorithme

Présentation : Soit 𝑛 ≥ 2, 𝕂 = ℝ ou ℂ, 𝑖≠𝑗. On va montrer que :

• 𝑆𝐿𝑛(𝕂) est engendré par les matrices de transvections 𝑇𝑖,𝑗(𝜆)=𝐼𝑛+𝜆𝐸𝑖,𝑗

• 𝐺𝐿𝑛(𝕂) est engendré par les matrices de transvections et de dilatations 𝐷𝑖(𝛼)=𝐼𝑛+(𝛼−1)𝐸𝑖,𝑖

On en déduira que 𝑆𝐿𝑛(𝕂) est connexe par arcs.

Bilan : Pas de grande difficulté, plutôt facile à restituer en 15 minutes et intéressant pour les leçons visées.

Illustration : Python